En conséquence de l'étrangeté de l'événement, la société organisatrice mena une courte enquête puis valida le tirage, assurée que nulle manipulation ne fut perpétrée. Un professeur de statistiques interrogé et cité dans toute la presse estimait qu'il n'y avait qu'une chance sur 4 mille milliards qu'un tel événement se produise. Un universitaire calculait qu'il pouvait survenir en moyenne tous les 10 000 ans.

Ces chiffres impressionnants invitent à interpréter l'événement comme un miracle. Les deux mathématiciens interrogés ont, à mon sens, effectué leurs calculs à l'échelle du pays et en considérant uniquement les 2 tirages en question. Si l'on quitte Israël pour s'intéresser à l'ensemble des loteries du monde, en ne considérant pas deux tirages mais la série de tirages réalisés en l'espace de 3 semaines, la coïncidence tient-elle encore du miracle ? Faut-il réellement attendre 10 000 ans entre deux telles surprises ?

Tout d'abord, quelques estimations

Selon les sources, notre monde comporte entre 192 et 226 pays. Soyons pessimistes d'un point de vue statistique en admettant le nombre de 192 pays. La plupart des pays organisent une loterie, et certains plusieurs (par exemple, les Etats Unis comptent pour 1 pays alors qu'ils organisent plus de 150 loteries). Nous considérerons ainsi, de manière pessimiste, qu'il y a environ n=200 loteries organisées en parallèle dans le monde, et, pour être réalistes, 2 fois par semaine. Nous considérerons que le jeu de toutes ces loteries consiste à cocher t=6 nombres parmi m=49, ce qui est également réaliste. Les coïncidences sur les numéros complémentaires ne nous intéresseront pas.

Munis de nos estimations pessimistes, nous obtiendrons des probabilités minorées. La réalité se montrera plus favorable que ce que prétendront nos résultats.

Périodicité à l'échelle mondiale

Formellement

La première question que nous devons résoudre est la suivante : étant donnée une suite de 6 nombres uniques, compris entre 1 et 49 et dans un ordre précis, quelles sont les chances d'obtenir la suite inverse lors d'un tirage ? A titre d'illustration, observons la suite 13-14-26-32-33-36 issue d'un loto à 49 boules. Effectuons un tirage. La probabilité pour que la première boule soit le 36 est de 1/49. Il reste alors 48 boules, et la probabilité pour que la seconde boule soit un 33 est de 1/48. Lorsque deux issues doivent se produire successivement et indépendamment, on multiplie leurs probabilités respectives pour obtenir la probabilité de leur succession. Ainsi, nous obtiendrons la suite 36-33-32-26-14-13 avec une probabilité de

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Admettons que les joueurs et les médias ont une mémoire limitée. À titre d'exemple, lorsqu'un tirage est exactement l'inverse d'un tirage précédent, on peut imaginer qu'on ne s'en apercevra que si moins d'un an s'est écoulé entre les deux (soit 104 tirages). Nous noterons L la largeur de cette fenêtre où notre mémoire nous permet de remarquer l'événement. Elle sera exprimée en nombre de tirages.

Ainsi, après un tirage Tt effectué un jour t, nous comparons les numéros qui viennent de sortir avec ceux obtenus au tirage précédent, mais aussi avec ceux obtenus à l'avant dernier tirage, etc, jusqu'à remonter au Lème tirage qui précède. La probabilité de s'apercevoir d'une ou plusieurs coïncidences s'écrit

Il est très difficile de calculer la probabilité d'une disjonction d'événements indépendants (il faudrait additionner les probabilités de toutes les combinaisons de conjonctions d'événements en nombre impair, retrancher les probabilités des autres, ce qui requerrait une quantité de calculs croissant exponentiellement avec L). Le calcul de la probabilité de sa négation (« ne remarquer aucune coïncidence ») est, quant à lui, trivial. De plus, la double négation d'un événement représente l'événement lui même (la négation de « ne remarquer aucune coïncidence » est bien « remarquer au moins une coïncidence »). Ainsi, nous pouvons calculer trivialement la probabilité de remarquer au moins une coïncidence :

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Les événements de la conjonction de droite étant indépendants, la probabilité de leur conjonction est le produit des probabilités individuelles :

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Ainsi, la probabilité de remarquer au moins une coïncidence entre un tirage et les L tirages précédents vaut

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Notre objectif est de déterminer le délai moyen entre deux apparitions d'un "miracle". Pour ce faire, nous mettons en œuvre la loi des grands nombres. Grossièrement, cette loi énonce que, lorsqu'une expérience est répétée un grand nombre de fois, le nombre m de fois que l'événement désiré survient, divisé par le nombre M d'expériences, correspond à la probabilité p de l'événement :

Nous en déduisons m, le nombre de fois que notre "miracle" survient lorsqu'on effectue M tirages :

Que vaut M, combien de tirages doit-on considérer ? Premièrement, nous décidons de guetter la coïncidence d fois de suite. Par exemple, si l'on cherche le nombre coïncidences par an, à raison de 2 tirages par semaine, il faut prendre d=104. De plus, nous nous attendons à ce que l'événement surgisse dans n'importe quelle loterie de la planète. Pour rappel, nous notons n ce nombre de loteries et il vaut au moins 200. De l'ensemble des considérations ci-avant, il vient

Pour synthétiser, cette formule permet de calculer le nombre de coïncidences surgissant sur terre lorsque nous avons une mémoire capable de se souvenir de L tirages et que chaque pays guette l'événement au cours de d tirages consécutifs.

Simulation numérique

Pour lever tout doute sur la correction de l'expression ci-dessus, une méthode simple consiste à réaliser une simulation numérique, où la probabilité de gagner est de p0, où n loteries sont organisées en parallèle, où, dans chacune, on compare chaque tirage avec les L précédents, et ceci d fois de suite. Après un temps de simulation plus ou moins long, le nombre de coïncidences apparues doit concorder avec le nombre prédit par la formule. Le simulateur est téléchargeable ici. Il permet de constater que nos prédictions théoriques correspondent avec une grande justesse à la réalité, sous deux conditions inhérentes à son fonctionnement :

- la probabilité qu'on lui fournit doit être l'inverse d'un nombre entier et comporter au moins 3 chiffres significatifs,
- cette probabilité ne peut être inférieure à 5‧10-10 (1 chance sur 2 milliards).

Enfin, précisons que :

- son occupation en RAM est inversement proportionnelle à la probabilité de gagner et proportionnelle à n,
- il est d'autant plus lent que la probabilité est faible, que n est grand et que d est grand.

Résultats

Périodicité de la coïncidence, selon notre capacité de mémorisation

Nous devons nous mettre d'accord sur un fait. Le loto a lieu toute l'année et tous les ans. Nous ne pouvons pas considérer que la coïncidence ne puisse survenir qu'entre le 21 septembre et le 16 octobre 2010. Cette période d'observation d peut être quelconque et va être l'objet de notre questionnement. Combien de temps faut-il attendre, en moyenne, pour que nous remarquions une coïncidence ? Nous souhaitons que la coïncidence surgisse 1 fois, nous voulons assister à 1 "miracle". m doit donc valoir 1 et l'on cherche à savoir combien de tirages consécutifs nous devons observer pour que cela soit vrai. La réponse est


Cette formule nous permet de tracer la courbe ci-dessous. Pour faciliter sa lecture, la fenêtre de mémoire est en mois et le temps moyen nécessaire pour obtenir une heureuse coïncidence est en années. On y constate que l'événement survient en moins d'un mois tous les 55 000 ans. Si l'on a une meilleure mémoire, au point de pouvoir se rendre compte qu'un tirage donné est déjà sorti 12 mois auparavant, on lit que l'événement apparaît tous les 5000 ans.

Les mathématiciens annonçaient une période de 10 000 ans. On lit que cela est vrai si l'on compare chaque tirage avec les tirages effectués dans les 6 mois précédents.

Périodicité de la coïncidence, dans l'absolu

A présent, nous ne limitons plus la capacité L de notre mémoire. Nous nous souvenons d'autant de tirages que nécessaire pour que l'événement se remarque une fois. Combien de temps faut-il alors attendre, en moyenne, pour que nous remarquions une coïncidence ? Il s'agit de résoudre


La solution formelle à cette équation ne peut pas s'obtenir à l'aide de fonctions usuelles. Néanmoins, la solution numérique est calculable, notamment à l'aide de l'algorithme de Newton. Selon cet algorithme, notre solution est la limite vers laquelle tend la suite ci-dessous lorsque k tend vers l'infini :


Nous trouvons 7096. C'est le nombre de tirages réalisés en 68 ans, à raison de 2 tirages par semaine.

Plus d'un miracle tous les 3 ans

Tous les 68 ans, quelque part dans le monde, deux tirages d'une loterie produisent deux suites de numéros en ordre inversé. Cela peut arriver n'importe quand au cours de cette période. Le hasard étant ce qu'il est, la coïncidence s'est produite en 2010, en Israël.

Par ailleurs, la probabilité d'obtenir deux tirages où les mêmes numéros sortent dans le même ordre est identique, si bien que cet événement survient, lui aussi, tous les 68 ans.

Pour ajouter un dernier miracle au tableau des possibles, nous pouvons résoudre l'équation en considérant la probabilité d'obtenir deux tirages où les mêmes numéros sortent, peu importe leur ordre (1 chance sur 14 millions). Nous découvrons alors que cet événement arrive tous les 2 ans et demi (la solution à l'équation est x=265). Il fut très remarqué en Bulgarie le 10 septembre 2009.

Peut-on qualifier ces événements de miraculeux lorsqu'ils arrivent aussi fréquemment ?